Определяне на оптимални стойности на регуларизационните параметри в уейвлетно свиване и визуализация с gm-waves

Abstract

През изминалите години се наблюдава бурно развитие на теорията на уейвлетите и навлизането им в много сфери на компютърните науки, например компресия на данни, изчистване на шум и др, вкл. при обработката на медицински изображения .

В тази работа се разглежда задачата за непараметрична регресия базирана голям обем шумни експериментални данни, в случаите на равномерни детерминистични възли и равномерно разпределени случайни възли. Изглаждането (обезшумяването) на функцията е базирано на уейвлети, и е постигнато чрез свиване на уейвлетните коефициенти към 0. Стандартното решение в случая е праговото свиване на уейвлетните коефициенти и е много ефективно, когато е приложено върху гладки функции, но постига свръх изглаждане в точки на прекъсване на функцията и/или нейните производни. С нарастване на интереса към негладки, прекъснати и/или фрактални данни се появява нуждата от разработка на методи за тяхната обработка. Много често тези данни са получени в резултат на някакъв експеримент и съдържат известно количество шум, например данните за позицията на даден спътник, определяне местоположението на тумори и други патологични обекти в медицински изображения и др. В отговор на това търсене се появяват методите за не прагово свиване (non-thresholding shrinkage) на уейвлетните коефициенти предложени от Дечевски, Рамзи и Пенев в “Penalized wavelet estimation with Besov regularity constriants” (Math. Balkanica (N.S.), 13(3-4) (1999), 257-376) използвайки регуларизация на Тихонов чрез пенализационен критерии в Бесовски нормирани пространства.

Докато методите за прагово свиване (thresholding shrinkage) на уейвлетните коефициенти са сравнително добре изучени, не праговото свиване (non-thresholding shrinkage) е една сравнително нова теория. Този факт се обяснява с традиционния интерес към гладки (и правилни) функции.

В настоящата работа се представят няколко процедури (метод на най-малките квадрати, регуларизация на Бесовската норма, кросвалидация) за определяне на оптималните стойности на регуларизационните параметри. Изучава се в детайли разликата между равномерни детерминистични възли и равномерно разпределени случайни възли. Към всеки от моделите се представят и графични резултати за криви и повърхнини. Резултатите са във векторни формати с цел да се избегне загуба на информация, въпреки че това забавя изпълнението и разпечатването.

Създаденото средство за изчисление и визуализация на изчистването на шум при използване на не прагово свиване (non-thresholding shrinkage) на уейвлетните коефициенти е реализирано на C++ чрез използване на OpenGL, qt и библиотеките gm-waves и gm-lib, последните две библиотеки са разработени от Narvik University College, тяхната цел е съответно пакет за изчисление на уейвлети и библиотека за геометрично моделиране.

По-голямата част от работата е съсредоточена върху математическия модел и изчислението и визуализацията му за сметка на възможните приложения. Това се дължи на факта, че създаденото приложение и произлизащия математически модел са подготвителна стъпка за построяването на адаптивни естиматори зависещи от данните, който съчетават свойствата на прагово свиване (thresholding shrinkage) за гладките фрагменти на дадена функция и разработените методи за сингулярните и точки.